Planteo del Problema de D.E.B. sin límites de generación y sin pérdidas

En la entrada anterior acerca del despacho económico básico habíamos llegado a que la expresión a optimizar (minimizar) en un problema de Despacho Económico Básico es:

C(P_g) = \sum\limits_{i=1}^n C_i(P_{gi})

Sujeto a:

\sum\limits_{i=1}^n P_gi = P_d + P_p

P_{gi}^{min} \le P_{gi} \le P_{gi}^{max}

Dejando afuera las restricciones sobre los límites de generación y las pérdidas del sistema de transmisión y distribución, podemos elaborar un planteo mínimo mediante el método de Lagrange llegando a la siguiente expresión:

\mathcal{L}(P_g , \lambda ) = \sum\limits_{i=1}^n C_i(P_{gi}) - \lambda ( \sum\limits_{i=1}^n P_{gi} - P_d)

Para esto, construimos la función de Lagrange a partir de la expresión a optimizar \sum\limits_{i=1}^n C_i(P_{gi}) en primer término, y en segundo término utilizamos el multiplicador de Lagrange \lambda multiplicando a la restricción igualada a cero. La restricción sin tener en cuenta la pérdida ni los límites se expresa como \sum\limits_{i=1}^n P_{gi} - P_d .

Ahora se calculan las derivadas parciales de la función de Lagrange por cada variable (P_g y \lambda ):

\frac{\delta \mathcal{L}(P_g , \lambda )}{\delta P_g} = \frac{\delta C_i(P_{gi})}{\delta P_{gi}} - \lambda = 0

\frac{\delta \mathcal{L}(P_g , \lambda )}{\delta \lambda} = - \sum\limits_{i=1}^n P_{gi} + P_d= 0

La derivada del Costo de Generación por cada generador en función de la generación (\frac{\delta C_i(P_{gi})}{\delta P_{gi}} ) representa el costo incremental de la producción y podemos nomenclarlo como CI_i(P_{gi})=\frac{\delta C_i(P_{gi})}{\delta P_{gi}} .

El valor \lambda es el valor común de los costos incrementales, que también representa el marginal del costo total óptimo respecto a la demanda, es decir,

\lambda=\frac{\delta C(P_{g})}{\delta P_{d}}

Que también tiene una importancia clave en este problema porque representa el valor del último MW de demanda abastecido.

Suponiendo que existe una solución óptima al planteo con las restricciones anteriores, si la demanda varía un \delta P_{d}, la generación también variará de forma que satisfaga la condición de equilibrio entre generación y demanda. Asimismo, el costo total cambia acorde a las siguientes igualdades:

\delta C(P_g) = \sum\limits_{i=1}^n \delta C_i(P_{gi}) = \sum\limits_{i=1}^n C_i(P_{gi}) \delta P_{gi} = \sum\limits_{i=1}^n \lambda \delta P_{gi} = \lambda \sum\limits_{i=1}^n \delta P_{gi} = \lambda P_d

Si las curvas de costo de generación son convexas, la solución es única y fácilmente calculable de forma numérica. En caso contrario habrá que estudiar si admite soluciones analíticas… Lo que será tema de una futura entrada del blog…

Aquí hay un tutorial muy sencillo para aplicar el método de Lagrange:

Bibliografía:

“Tecnología Eléctrica” – 2da Edición ampliada y revisada – Ramón María Mujal Rosas

“Operación del sistema de generación” – Francisco D. Gagliana y Antonio J. Conejo

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Un pensamiento en “Planteo del Problema de D.E.B. sin límites de generación y sin pérdidas

  1. Pingback: D.E.B. sin límites ni pérdidas: ¿Qué pasa si las funciones de costo son cuadráticas? | Algoritmos Genéticos Paralelos

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