D.E.B. sin límites ni pérdidas: ¿Qué pasa si las funciones de costo son cuadráticas?

En la entrada anterior, estudiamos el planteo básico del problema del despacho eléctrico sin tener en cuenta los límites de generación ni las pérdidas de la red eléctrica. Llegado el punto de analizar la solución por el método de Lagrange, concluimos que si las funciones de costo de cada generador son lineales, la solución es única y sencillamente calculable.

¿Qué sucede si, en cambio, las funciones de costo son cuadráticas?

Vamos a analizar los términos de la función de costo de generación para cada generador. Conviene expresar dicha función de la siguiente manera:

C_i(P_{gi}) = C_{0i}+a_iP{gi}+\frac{1}{2}b_iP^2_{gi}

Siendo:

  • C_{0i}: Costos fijos de cada máquina expresados en $/h.
  • a_i , b_i: Son parámetros positivos que permiten caracterizar la dependencia de la curva de costo de la máquina con su respectiva generación.

Ahora, si extendemos el planteo a todas las máquinas generadoras, podremos definir los siguientes vectores:

C_{0} = [C_{01}, C_{02}, ..., C_{0n}]^T

a = [a_1, a_2, ..., a_n]^T

b = [b_1, b_2, ..., b_n]^T

e = [1, 1, ..., 1]^T

P_g = [P_{g1}, P_{g2}, ..., P_{gn}]^T

P_d = [P_{d1}, P_{d2}, ..., P_{dn}]^T

Y haciendo uso de la matriz diagonal B = diagonal(b), se podrá expresar el costo total de generación de la siguiente manera:

C(P_{g}) = C_{0} e^T+a^T P{g}+\frac{1}{2}B P^T_{g} P_g

Expresando, también, la restricción de equilibrio de generación y demanda de manera vectorial:

e^T P_g = P_d

Por tanto estamos hablando de una expresión cuadrática respecto de la generación (Pg). Si aplicamos el método de Lagrange a esta versión vectorial, y luego derivamos en función de las variables Pg y \lambda, vamos a obtener las siguientes igualdades:

a + B P_g = \lambda e

e^T P_g = P_d = e^T P_d

Siendo la solución analítica del sistema de ecuaciones la siguiente:

P_g = \lambda B^{-1} e - B^{-1}a

\lambda = \frac{P_d + e^T B^{-1}a}{e^T B^{-1} e}

Podemos expresar las soluciones en función de la demanda, lo que es realmente útil, o lo será maś adelante… Despejando \lambda de la primer solución se puede obtener una expresión del siguiente tipo:

P_g = \alpha P_d + \beta

donde los vectores \alpha y \beta están definidos por:

\alpha = \frac{B^{-1}e}{e^T B^{-1}e}

\beta = \frac{B^{-1}e(e^TB^{-1}a)}{e^T B^{-1}e} - B^{-1}a

Entonces, el vector \alpha quedará constituido por los factores de distribución de demanda para asignarle a cada máquina generadora, por tanto si hay una variación diferencial en la demanda \delta P_d, entonces cada máquina generadora variará de acuerdo a la ecuación:

\delta P_g = \alpha \delta P_d

Puede deducirse fácilmente que los factores \alpha suman 1 y son positivos, a partir de que e^T\alpha = 1, que es una condición que debe cumplirse para que exista un equilibrio de potencia entre la demanda y la generación.

Bibliografía:

“Operación del sistema de generación” – Francisco D. Gagliana y Antonio J. Conejo

Anuncios

Deje un comentario

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s