Planteo del Problema de D.E.B. con pérdidas mediante el análisis del flujo de cargas

En la entrada anterior vimos el planteo del problema del Despacho Económico Básico (D.E.B.) mediante el método de Lagrange y llegamos a la conclusión de la conveniencia de utilizar el análisis del flujo de cargas.

Si nos centramos en el flujo de cargas de la red, podemos llegar a una expresión de flujo como la siguiente, siempre y cuando las tensiones en los nodos sean constantes:

P_g - P_d = P(\delta)

Estas expresiones son vectoriales, representando las generaciones, las demandas y las inyecciones en la red, siendo todos estos vectores de dimensión n (y n siendo la cantidad de nodos de la red). \delta representa los ángulos de las tensiones de los nodos de la red, por tanto, el vector de inyecciones es función de dichos ángulos (y cabe aclarar que no es una función lineal). La dimensión del vector \delta es n-1, dado que la tensión del nudo de referencia puede ser establecido arbitrariamente sin que esto modifique los flujos de potencia.

Para calcular las pérdidas, primero hay que resolver el flujo de cargas de forma numérica y resolver el vector \delta . Para esto hay que eliminar necesariamente una de las ecuaciones de la familia de P_g - P_d = P(\delta). Aquí es donde entra en juego el nodo slack. Se elimina la correspondiente al nodo slack, quedando n-1 ecuaciones restantes que pueden determinar los ángulos \delta .

Entonces las pérdidas se calcularán mediante la ecuación P_p = e^T P(\delta) donde e es el vector unitario de dimensión n introducido en las entradas anteriores.

Con el fin de determinar los coeficientes de sensibilidad de las pérdidas (\frac{\partial P_p}{\partial P_g}) obtenidos sobre un punto de operación \delta_0 se deberán linealizar las ecuaciones de flujo de cargas:

\partial P = \partial P_g - \partial P_d = \left[ \frac{\partial P(\delta_0)}{\partial \delta}\right] \partial \delta

También, se linealiza la ecuación de pérdidas P_p = e^T P(\delta) de la siguiente manera: \partial P_p = e^T \left[ \frac{\partial P(\delta_0)}{\partial \delta} \right] \partial \delta

Luego, el paso siguiente es expresar los ángulos (\partial \delta ) en función de las inyecciones en la expresión P_g - P_d = P(\delta). Para esto también hay que suprimir una ecuación de dicha familia… De vuelta al nodo slack… Dejamos sin especificar la inyección en el nodo slack (s). De esta manera podemos definir el vector P_g |_s que consiste en el vector P_g después de haberle suprimido el componente no especificado P_{gs} . De la misma manera se define el vector P_d |_s , y, también, la matriz \left[ \frac{\partial P(\delta_0)}{\partial \delta} |_s \right] que tiene dimensión (n-1)x(n-1) dado que se obtiene de la matriz \left[ \frac{\partial P(\delta_0)}{\partial \delta}\right] suprimiendo los vectores relacionados cono el nodo slack s. Por tanto tenemos:

\partial P_g|_s- \partial P_d|_s = \left[ \frac{\partial P(\delta_0)}{\partial \delta}|_s\right] \partial \delta

Combinando con la ecuación de pérdidas linealizadas:

\partial P_p = e^T \left[ \frac{\partial P(\delta_0)}{\partial \delta} \right] \left[ \frac{\partial P(\delta_0)}{\partial \delta}|_s \right]^{-1} (\partial P_g|_s - \partial P_d|_s)

y también:

\partial P_p = e^T \left[ \frac{\partial P(\delta_0)}{\partial \delta} \right] \left[ \frac{\partial P(\delta_0)}{\partial \delta}|_s \right]^{-1} (\partial P_g|_s - \partial P|_s)

De las ecuaciones anteriores podemos despejar los coeficientes de sensibilidad de las pérdidas:

\frac{\partial P_p}{\partial P|_s}|_s = \left( \left[ \frac{\partial P(\delta_0)}{\partial \delta}|_s \right]^T \right)^{-1} \left[ \frac{\partial P(\delta_0)}{\partial \delta}\right]^T e

De esto se deduce que la sensibilidad a las pérdidas respecto a las inyecciones en la red es idéntica a la sensibilidad respecto a las generaciones (cuando las demandas son fijas). Expresado en una ecuación queda así: \frac{\partial P_p}{\partial P_{gi}}|_s = \frac{\partial P_p}{\partial P_i}|_s

Suponiendo demanda constante, y volviendo a las condiciones necesarias de esta entrada, la segunda condición necesaria podría expresarse (reemplazando la última igualdad encontrada en el párrafo anterior de la siguiente manera):

CI_i(P_{gi}) = \lambda \left( 1 - \frac{\partial P_p}{\partial P_i}\right)

Haciendo reemplazos en la ecuación de balance de potencias y teniendo en cuenta lo siguiente:

  • que el coeficiente de sensibilidad en el nodo slack no está definido,
  • dado que la generación en dicho nodo no es una variable independiente,
  • por lo tanto se puede definir arbitrariamente (pero consistentemente con la matemática) que el coeficiente \frac{\partial P_p}{\partial P_{gs}}|_s = 0
  • y con esto definir un coeficiente para todos los nodos incluido el slack.
  • Vamos a poder describir el diferencial de pérdidas \partial P_p = \sum\limits_{i=1}^n \frac{\partial P_p}{\partial P_i}|_s \partial P_i = \sum\limits_{i=1}^n \frac{\partial P_p}{\partial P_i}|_s (\partial P_{gi} - \partial P_{di})
  • Y, teniendo en cuenta que \sum\limits_{i=1}^n \partial P_i = \partial P_p

…podemos expresar la ecuación de balance de la siguiente manera:

\sum\limits_{i=1}^n \left( 1 - \frac{\partial P_p}{\partial P_i}|_s \right) \partial P_i = 0

Si estudiamos los costos marginales \lambda_i en cada nodo, vamos a ver que podemos plantear a partir de las condiciones necesarias lo siguiente: Si las demandas en todos los nodos varían según \vec\partial P_d, las generaciones también varían sobre \vec\partial P_g, de forma tal que se siguen cumpliendo las condiciones de optimalidad, pero el costo cambia siguiendo la expresión:

\partial C = \sum\limits_{i=i}^n CI_i \partial P_{gi} = \sum\limits_{i=i}^n \lambda \left( 1 - \frac{\partial P_p}{\partial P_i}|_s \right) \partial P_{gi} = \lambda \left( \sum\limits_{i=i}^n \partial P_{gi} - \sum\limits_{i=i}^n \frac{\partial P_p}{\partial P_i}|_s \partial P_{gi} \right)

Teniendo en cuenta la ecuación de equilibrio de potencia para el caso diferencial: \sum\limits_{i=i}^n (\partial P_{gi} - P_{di} ) = \partial P_p podemos obtener:

\partial C = \lambda \left( \sum\limits_{i=i}^n \partial P_{di} + \partial P_p \right) - \lambda \left( \sum\limits_{i=i}^n \frac{\partial P_p}{\partial P_i}|_s \partial P_{gi} \right)

\partial C = \lambda \left( \sum\limits_{i=i}^n \partial P_{di} + \sum\limits_{i=i}^n \frac{\partial P_p}{\partial P_i} |_s ( \partial P_{gi} - \partial P_{di}) \right) - \lambda \left( \sum\limits_{i=i}^n \frac{\partial P_p}{\partial P_i}|_s \partial P_{gi} \right)

\partial C = \lambda \sum\limits_{i=i}^n \left( 1 - \frac{ \partial P_p}{ \partial P_i} |_s \right) \partial P_{di}

De lo anterior es posible despejar una expresión para los costos marginales en cada nodo:

\lambda_i = \frac{\partial C}{\partial P_{di}} = \lambda \left( 1 - \frac{\partial P_p}{\partial P_i}|_s \right)

En conclusión, encontramos expresiones para la solución del problema, y despejamos valores económicamente interesantes del mismo. La solución de este tipo de problemas sólo puede darse con programación no lineal, con métodos numéricos dinámicos o iterativos.

En las entradas siguientes vamos a explorar qué pasa cuando la red en si tiene límites de transmisión, es decir, los cables tienen un límite que por ahora no incluimos en el planteo.

Bibliografía:

“Resolución del problema del flujo de Cargas – Desarrollo de Flucar 3.0” – Alfredo Costa y Claudio Olmedo, 2002.

“Operación del sistema de generación” – Francisco D. Gagliana y Antonio J. Conejo

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