Planteo del reparto óptimo de cargas (D.E.B.) en teoría de grafos

Anteriormente se armó un planteo en términos de método de Lagrange y flujo de cargas. Vamos a intentar plantear este problema monoperíodo en términos de grafos.

Para eso nos conviene saber que es determinante la definición de regiones, dado que hemos visto que las pérdidas y los límites de transportes imponen restricciones importantes a nuestro problema. Entonces vamos a intentar tipar:

  • Nodos
    • Región de Demanda: Un nodo (o barra eléctrica) que agrupa la demanda de una o más ciudades (o industrias). Va a estar caracterizada por una potencia media demandada en el período.
    • Generadores
      • Generador de Falla: Un generador ficticio que permita determinar cuánta potencia no se entregará al sistema por falla (ya sea por incapacidad de transporte, generación o balance costo beneficio). Sus características son similares a las del generador real, salvo que tienen un costo muy alto (generalmente regulado) con el fin de que realmente se considere muy caro dejar sin servicio a la red.
      • Generador Real: Cada generador va a constituirse como nodo. Va a estar caracterizado por las variables asociadas en el problema a cada generador:
        • Costo Fijo de Generación
        • Costo Variable de Generación
        • Potencia Mínima
        • Potencia Máxima
        • Características de la tecnología de la máquina generadora
  • Arcos
    • Líneas eléctricas: Representan tendidos interregionales. Están caracterizados por:
      • Función de pérdida. Es probable que la función de pérdida sea diferente en las dos direcciones del arco.
      • Límite de transporte expresado en términos de potencia instantánea.
    • Conexión entre generadores y la región de demanda a la que pertenece. Se considera que todo generador pertenece a una región de demanda (y en el caso en que una región de demanda únicamente esté compuesta de un generador, se definirá un nodo ficticio de demanda con componente 0Mw). Estas conexiones no implican ninguna pérdida ni están caracterizadas por ningún otro atributo.

A continuación, un ejemplo:

grafo1En términos prácticos, el objetivo del problema es asignarle a cada generador una potencia para cubrir la demanda, calculando la potencia que se va en pérdidas por la transmisión de energía (que a su vez es asignada).

Las restricciones de balance de flujo en los nodos igualan un consumo (únicamente en áreas de demanda) con el flujo ingresante (generación) y el flujo saliente (exportación de energía).

Tal como se vio en otras entradas, el problema de optimización pasa por minimizar \sum\limits_{i=1}^n C_i(P_{gi}) sujeto a las restricciones:

P_G^{min} \leq P_G \leq P_G^{max}

P_G - P_D = P_P

f_{li} <= f^{max}_{li}

\mu^{min}_i \leq P_{gi} \leq \mu^{max}_i

Donde:

  • f_{li} es el flujo de potencia que se transmite a través de la línea (arco) i.
  • f^{max}_{li} es el límite de potencia que admite la línea (arco) i.
  • \mu^{min}_i es la generación mínima nominal de la máquina i.
  • \mu^{max}_i es la generación máxima nominal de la máquina i (probablemente sin contar reserva).
  • Si la máquina no está activa, no se computa el costo fijo de generación.
  • P_P = \sum\limits_{i=1}^n perd_i(f_{li}) donde perd_i es la función de pérdida de la línea (arco) i.

Este planteo es estático, es decir, a fines didácticos sirve entender cómo se reparte la carga sin mucho contexto, pero luego habrá que pensar en que la demanda varía período a período.

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Un esfuerzo por linealizar el problema de las pérdidas

En las entradas anteriores demostramos que el problema del D.E.B. con pérdidas abandona la linealidad.

Las líneas eléctricas se describen mediante cuatro parámetros, que son:

  • Resistencia efectiva: Relación entre la potencia de pérdida (P_p) producida cuando circula por la línea (conductor) una corriente I e I^2.
  • Inductancia: Un corriente que circula a través de un conductor genera un campo magnético en forma de lazos circulares rodeando al mismo. Si la corriente varía en el tiempo, es decir, si se define como i(t), el campo magnético también dependerá del tiempo. En cualquier circuito eléctrico que esté inducido (próximo) al campo magnético generado, se inducirá una diferencia de potencial eléctrico dado por v(t) = \frac{\partial \phi (t)}{\partial t} donde \phi (t) es el flujo concatenado por el circuito. El flujo concatenado será entonces proporcional a la corriente que lo crea, definiendo la constante llamada coeficiente de inducción L únicamente dependiente de la geometría de los circuitos: L = \frac{\phi (t)}{i(t)}.
  • Capacidad: La capacidad está ligada al campo eléctrico generado por la carga eléctrica existente en los conductores, así como el campo magnético está ligado a la inductancia. La capacidad estará definida por la relación entre la carga eléctrica y la diferencia de potencial respecto de un punto de referencia: C = \frac{q}{v}.
  • Conductancia: Es la capacidad de un conductor de transportar electrones. Propiedad inversa a la resistencia. Es decir: G = \frac{1}{R} = \frac{I}{V}. Es de importancia en el estudio de las fugas eléctricas en las líneas. Al estar la intensidad de fuga en fase con la tensión, sólo tendrá un componente activo y la potencia de fuga estará determinada por P_g = G V^2.

Los operadores de las líneas de alta tensión están en condiciones de proveer una función que determine la potencia de pérdida de cada una de las líneas que opera con un nivel de error bastante bajo.

Es posible hacer una aproximación lineal en un único período al problema de las pérdidas. Supongamos las siguientes premisas, disponemos del siguiente circuito:

circuitobasicoCada nodo es una abstracción (o una barra eléctrica) en la que hay combinados elementos de generación y demanda (además de transformadores y otros componentes eléctricos). Dada una situación (o modelo) de demanda determinado, resolvemos con nuestros parámetros el problema del D.E.B. sin pérdidas y arroja, por ejemplo, que el nodo r es netamente de demanda, y que los nodos k y m son superavitarios en generación. Digamos que P_k = 5 MW, P_m = 5 MW y P_r = -10 MW (la convención del signo implica flujo de cargas).

Dado que no introdujimos límites de red (ni pérdidas) el \lambda = \frac{\partial C}{\partial d} es el mismo en todos los nodos.

Estamos en condiciones de calcular las pérdidas según la función que tengamos como parámetro, por ejemplo podríamos decir que P_{gkr} = 0,1 MW y P_{gmr} = 0,1 MW para simplificar.

Dado esto podríamos no considerar estos 0,2 MW como un aumento en la demanda, sino repartirlo entre los nodos por mitades. A esto le sumaríamos un pequeño delta, dado que transportar un nivel mayor de potencia, implicaría un poco más de pérdidas. Este delta sería arbitrario. Correríamos el modelo sin pérdidas nuevamente y buscaríamos iterativamente el equilibrio. Podría iterativamente correrse hasta no dar diferencias en el tercer o cuarto decimal.

Introduciendo los límites de transporte, el problema seguiría siendo el mismo, no cambiaría mucho.

De esta manera el problema pasa a ser lineal (con iteraciones o programación dinámica), pero hay una diferencia con el estudio de las pérdidas a través del problema de flujo de carga. Habría que estudiarlo, para ver cuánto puede perderse. Seguramente dependerá de la topología.

Otra posibilidad desde el punto de vista económico es introducir el concepto de factores de nodo o factores de pérdidas. En este esquema se establece un precio de energía en cada nodo de la red. La relación entre el precio en el nodo y el precio en el centro de cargas del sistema es el factor de nodo FN tal que PN(k)=PM FN(k)
Donde:

  • PN(k): Precio en el Nodo k
  • PM: Precio del Mercado
  • FN(k): Factor de Nodo del nodo k

Se establece un centro de cargas del sistema con FN=1. El coeficiente FN representa la variación (positiva o negativa) de las pérdidas atribuibles a un incremento de demanda en un nodo determinado. El Factor de Nodo FN intenta manifestar en el precio de la energía en un nodo, si el consumo de energía en su área de influencia colabora a descargar el sistema de transmisión o este será sometido a un uso más intenso.

El Factor de Nodo FN inferior a 1 representa a un nodo superavitario, o sea generador, cuyos saldos fluyen al centro de cargas. Una región generadora poseerá factores de nodo inferiores a la unidad debido a que un incremento de demanda en esa zona origina una disminución de sus saldos exportables al centro de cargas y como consecuencia la energía transmitida por el sistema será inferior, las líneas tenderán a descargarse y sus pérdidas a disminuir.

Los nodos que son abastecidos desde centros generadores lejanos, producen un mayor empleo de la red de transmisión y un incremento de las pérdidas cuando su demanda aumenta. Este efecto debería, en principio, elevar el Factor de Nodo consumidor. La consecuencia es la disminución del FN del nodo abastecedor debido a que todos los FN son vínculos con el FN del centro de carga fijado.

Desde el puntod e vista económico, el efecto del Factor de Nodo en los precios implica una penalización de los aumentos de demanda cuya satisfacción depende de un incremento de oferta en un nodo lejano, ya sea por imposibilidad u orenosidad del abastecimiento local.

Optimización de la programación horaria de grupos térmicos en el D.E.B.

En la entrada anterior introdujimos la posibilidad de analizar el reparto óptimo de cargas en varios períodos. De hecho los períodos podrían establecerse arbitrariamente como las horas del día (lo que termina resultando práctico). Puede ocurrir que en cada período estén entrando o saliendo máquinas térmicas del despacho para mejorar el rendimiento, lo cual debe ser tomado con pinzas, porque en la práctica, “sacar” cierta máquina tiene un costo que debe afrontarse.

Vamos a extender el problema de optimización de los casos anteriores con el fin de plantear un sólo período de programación horaria de grupos térmicos. Una nueva variable que aparece es una variable binaria (\mu_i) cuyo semántica consiste en saber si la máquina i ha sido tenida en cuenta para el despacho o no. Cabe destacar que tratamos ahora con un problema de programación entera-mixta.

De este modo, podemos expresar el costo de generación de una máquina i como C_i(\mu_i,P_{gi}) = \mu_i C_{0i} + C_{vi}(P_{gi}). Donde C_{0i} es el costo fijo de generación para el generador i, y C_{vi} es el costo variable (función convexa dependiente de P_{gi}). Por tanto el problema queda planteado como la minimización de:

\sum\limits_{i=1}^n C_i(\mu_i,P_{gi})

Sujeto a:

\mu_i P_{gi}^{min} \leq P_{gi} \leq \mu_i P_{gi}^{max}

P_G - P_D = P(\delta)

|P_f(\delta)| \leq P_f^{max}

Una de las cuestiones que quedó afuera en el planteo anterior es la toma de reservas. En todo sistema de este estilo, debe contarse con un nivel de seguridad de reserva rodante lista para cubrir cualquier eventualidad (caída intempestiva de generación o incremento inesperado de demanda). Una vez determinada la potencia P_r de reserva (el nivel de seguridad) se puede añadir la restricción \sum\limits_{i=1}^n (\mu_i P_{gi}^{max} - P_{gi}) \geq P_d + P_R.

Otros de las cuestiones que pueden agregarse son los módulos de las tensiones y las potencias reactivas.

Cuando se analiza cierto continuo de tiempo no es correcto optimizar cada período por separado. En este planteo estamos teniendo en cuenta el acoplamiento o desacoplamiento de grandes máquinas térmicas que no poseen características de operación instantánea y que pueden requerir horas para que puedan llevarse a cabo dichas operaciones. Las calderas de dichas máquinas tienen una inercia para calentarse o enfriarse, es por eso que toda máquina térmica tiene posee un límite de rampa que restringe su capacidad de variar la producción en función del tiempo.

La incorporación de una máquina térmica (que esté apagada) implica también un gasto de arranque (combustible, personal técnico) que puede influir en la solución final.

La versión que incorpora las 24hs de un día en la programación horaria se puede expresar de la siguiente manera:

\sum\limits_{t=1}^{24} \sum\limits_{j=1}^n C_{jt}(\mu_{jt}, P_{Gjt}) + C_{Aj} y_{jt} + C_{Pj} z_{jt}

sujeto a:

\sum\limits_{j=1}^n P_{Gjt} = P_{Dt}

\sum\limits_{j=1}^n \mu_{jt} P_{Gj}^{max} \geq P_{Dt} + P_{Rt}

\mu_{jt} P_{Gj}^{min} \leq P_{Gjt} \leq \mu{jt} P_{Gj}^{max}

P_{Gj,t-1} -P_{Gjt} \leq R_{Gj}^{bajar}

P_{Gjt} - P_{Gj,t-1} \leq R_{Gj}^{subir}

 P_{Gj}^0 - P_{Gj1} \leq R_{Gj}^{bajar}

 P_{Gj1} - P_{Gj}^0 \leq R_{Gj}^{subir}

y_{jt} - z_{jt} = \mu_{jt} - \mu_{j,t-1}

y_{j1} - z_{j1} = \mu_{j1} - \mu_{j}^0

R_{Gj}^{subir} > P_{Gj}^{min}

R_{Gj}^{bajar} > P_{Gj}^{min}

Donde:

  • C_{jt}(\mu_{jt}, P_{Gjt}) es la función de costo de producción total del generador j en el período t.
  • C_{Aj} es el costo de arranque del generador j.
  • C_{Pj} es el costo de parada del generador j.
  • P_{Gjt} es la potencia generada por j en el período t.
  • P_{Gj}^{min} es la potencia mínima técnica del generador j.
  • P_{Gj}^{max} es la potencia máxima del generador j.
  • P_{Gj}^0 es la potencia de salida del generador j.
  • P_{Dt} es la demanda total del sistema en el período t.
  • P_{Rt} es la reserva total requerida del sistema en el período t.
  • R_{Gj}^{bajar} es la rampa máxima de bajada de carga del generador j.
  • R_{Gj}^{subir} es la rampa máxima de subida de carga del generador j.
  • \mu_{jt} es una variable binaria que toma el valor 1 si el generador j está activo en el período t y 0 si no lo está.
  • \mu_{j}^0 es el valor inicial de la variable una variable \mu_{jt}.
  • y_{jt} es una variable binaria que toma el valor 1 si el generador j arranca al comienzo del período t, y 0 si no lo hace.
  • z_{jt} es una variable binaria que toma el valor 1 si el generador j se desacopla al comienzo del período t, y 0 si no lo hace.
  • n es el número de generadores que hay en el sistema.

Si bien quedaron afuera las restricciones de red, el caso planteado es lo suficientemente general como para extenderlo en cualquiera de los casos necesarios.

 

Bibliografía:

“Operación del sistema de generación” – Francisco D. Gagliana y Antonio J. Conejo

¿Cómo plantear el reparto óptimo de cargas en el problema del D.E.B.?

Siguiendo el hilo de las entradas anteriores sería bueno intentar plantear cuál es la manera de repartir la demanda entre los generadores disponibles. En principio este planteo es estático, es decir, a fines didácticos sirve entender cómo se reparte la carga sin mucho contexto, pero luego habrá que pensar en que la demanda varía período a período. Esta variación no sólo nos va a enfrentar con otro escenario de demanda (que también varía período a período… Estrictamente varía todo el tiempo….) al que ajustarse, que puede cambiar significativamente la distribución óptima, sino que nos va a llevar a incluir costos que hasta ahora estaban ocultos (sobre todo en las máquinas térmicas) como el costo de arranque y de parada, entre otros parámetros.

En el reparto óptimo de cargas vamos a intentar minimizar el costo total de generación, sujeto a los límites de generación, a las pérdidas (ecuaciones de flujo de carga) y a los límites de transporte de la red. Es decir, minimizar \sum\limits_{i=1}^n C_i(P_{gi}) sujeto a:

P_G^{min} \leq P_G \leq P_G^{max}

P_G - P_D = P(\delta)

|P_f(\delta)| \leq P_f^{max}

Un estudio de las condiciones necesarias para la solución del problema arrojaría que los costos marginales en los diversos nodos quedan caracterizados por \frac{\partial C}{\partial P_{di}} = \lambda_i donde los \lambda_i son los multiplicadores de Lagrange asociados a las ecuaciones del flujo de cargas.

En la siguiente entrada vamos a extender este planteo a un esquema de varios períodos analizando todos los factores que juegan en la programación horaria del despacho de cargas.

 

Bibliografía:

“Operación del sistema de generación” – Francisco D. Gagliana y Antonio J. Conejo

Planteo del Problema de D.E.B. con límites de red

Los flujos en las redes eléctricas están principalmente limitados por la capacidad física de la misma. La capacidad también puede limitarse en determinadas líneas por márgenes de seguridad, o tener un límite térmico para evitar que el conductor se caliente excesivamente.

El planteo del problema en estos casos puede presentarse del siguiente modo (omitimos las pérdidas y los límites de generación por simplicidad) teniendo en cuenta que existe una línea cuyo flujo debe mantenerse por debajo de un límite:

P_f = \sum\limits_{i=1}^n \beta_i (P_{gi}-P{di}) = \beta^T (P_G - P_D)

Sujeto a la ecuación de equilibrio de potencia:

\sum\limits_{i=1}^n \beta_i (P_{gi}-P{di}) = 0

y al límite de flujo citado para la línea restringida:

P_f^{min} \leq \beta^T (P_G - P_D) \leq P_f^{max}

Las condiciones necesarias de costo incremental se expresan de la siguiente manera:

CI_i (P_{gi}) = \lambda + \gamma \beta_i

Donde \gamma representa el multiplicador de Lagrange asociado con la restricción de flujo de la red. Cuando se satura la línea restringida y \gamma \neq 0 ocurre un desequilibrio en los costos marginales \lambda. Por tanto los generadores podrán tener (así como en el caso de las pérdidas) costos marginales diferentes en casos de saturación.

 

Bibliografía:

“Operación del sistema de generación” – Francisco D. Gagliana y Antonio J. Conejo

Planteo del Problema de D.E.B. con pérdidas mediante el análisis del flujo de cargas

En la entrada anterior vimos el planteo del problema del Despacho Económico Básico (D.E.B.) mediante el método de Lagrange y llegamos a la conclusión de la conveniencia de utilizar el análisis del flujo de cargas.

Si nos centramos en el flujo de cargas de la red, podemos llegar a una expresión de flujo como la siguiente, siempre y cuando las tensiones en los nodos sean constantes:

P_g - P_d = P(\delta)

Estas expresiones son vectoriales, representando las generaciones, las demandas y las inyecciones en la red, siendo todos estos vectores de dimensión n (y n siendo la cantidad de nodos de la red). \delta representa los ángulos de las tensiones de los nodos de la red, por tanto, el vector de inyecciones es función de dichos ángulos (y cabe aclarar que no es una función lineal). La dimensión del vector \delta es n-1, dado que la tensión del nudo de referencia puede ser establecido arbitrariamente sin que esto modifique los flujos de potencia.

Para calcular las pérdidas, primero hay que resolver el flujo de cargas de forma numérica y resolver el vector \delta . Para esto hay que eliminar necesariamente una de las ecuaciones de la familia de P_g - P_d = P(\delta). Aquí es donde entra en juego el nodo slack. Se elimina la correspondiente al nodo slack, quedando n-1 ecuaciones restantes que pueden determinar los ángulos \delta .

Entonces las pérdidas se calcularán mediante la ecuación P_p = e^T P(\delta) donde e es el vector unitario de dimensión n introducido en las entradas anteriores.

Con el fin de determinar los coeficientes de sensibilidad de las pérdidas (\frac{\partial P_p}{\partial P_g}) obtenidos sobre un punto de operación \delta_0 se deberán linealizar las ecuaciones de flujo de cargas:

\partial P = \partial P_g - \partial P_d = \left[ \frac{\partial P(\delta_0)}{\partial \delta}\right] \partial \delta

También, se linealiza la ecuación de pérdidas P_p = e^T P(\delta) de la siguiente manera: \partial P_p = e^T \left[ \frac{\partial P(\delta_0)}{\partial \delta} \right] \partial \delta

Luego, el paso siguiente es expresar los ángulos (\partial \delta ) en función de las inyecciones en la expresión P_g - P_d = P(\delta). Para esto también hay que suprimir una ecuación de dicha familia… De vuelta al nodo slack… Dejamos sin especificar la inyección en el nodo slack (s). De esta manera podemos definir el vector P_g |_s que consiste en el vector P_g después de haberle suprimido el componente no especificado P_{gs} . De la misma manera se define el vector P_d |_s , y, también, la matriz \left[ \frac{\partial P(\delta_0)}{\partial \delta} |_s \right] que tiene dimensión (n-1)x(n-1) dado que se obtiene de la matriz \left[ \frac{\partial P(\delta_0)}{\partial \delta}\right] suprimiendo los vectores relacionados cono el nodo slack s. Por tanto tenemos:

\partial P_g|_s- \partial P_d|_s = \left[ \frac{\partial P(\delta_0)}{\partial \delta}|_s\right] \partial \delta

Combinando con la ecuación de pérdidas linealizadas:

\partial P_p = e^T \left[ \frac{\partial P(\delta_0)}{\partial \delta} \right] \left[ \frac{\partial P(\delta_0)}{\partial \delta}|_s \right]^{-1} (\partial P_g|_s - \partial P_d|_s)

y también:

\partial P_p = e^T \left[ \frac{\partial P(\delta_0)}{\partial \delta} \right] \left[ \frac{\partial P(\delta_0)}{\partial \delta}|_s \right]^{-1} (\partial P_g|_s - \partial P|_s)

De las ecuaciones anteriores podemos despejar los coeficientes de sensibilidad de las pérdidas:

\frac{\partial P_p}{\partial P|_s}|_s = \left( \left[ \frac{\partial P(\delta_0)}{\partial \delta}|_s \right]^T \right)^{-1} \left[ \frac{\partial P(\delta_0)}{\partial \delta}\right]^T e

De esto se deduce que la sensibilidad a las pérdidas respecto a las inyecciones en la red es idéntica a la sensibilidad respecto a las generaciones (cuando las demandas son fijas). Expresado en una ecuación queda así: \frac{\partial P_p}{\partial P_{gi}}|_s = \frac{\partial P_p}{\partial P_i}|_s

Suponiendo demanda constante, y volviendo a las condiciones necesarias de esta entrada, la segunda condición necesaria podría expresarse (reemplazando la última igualdad encontrada en el párrafo anterior de la siguiente manera):

CI_i(P_{gi}) = \lambda \left( 1 - \frac{\partial P_p}{\partial P_i}\right)

Haciendo reemplazos en la ecuación de balance de potencias y teniendo en cuenta lo siguiente:

  • que el coeficiente de sensibilidad en el nodo slack no está definido,
  • dado que la generación en dicho nodo no es una variable independiente,
  • por lo tanto se puede definir arbitrariamente (pero consistentemente con la matemática) que el coeficiente \frac{\partial P_p}{\partial P_{gs}}|_s = 0
  • y con esto definir un coeficiente para todos los nodos incluido el slack.
  • Vamos a poder describir el diferencial de pérdidas \partial P_p = \sum\limits_{i=1}^n \frac{\partial P_p}{\partial P_i}|_s \partial P_i = \sum\limits_{i=1}^n \frac{\partial P_p}{\partial P_i}|_s (\partial P_{gi} - \partial P_{di})
  • Y, teniendo en cuenta que \sum\limits_{i=1}^n \partial P_i = \partial P_p

…podemos expresar la ecuación de balance de la siguiente manera:

\sum\limits_{i=1}^n \left( 1 - \frac{\partial P_p}{\partial P_i}|_s \right) \partial P_i = 0

Si estudiamos los costos marginales \lambda_i en cada nodo, vamos a ver que podemos plantear a partir de las condiciones necesarias lo siguiente: Si las demandas en todos los nodos varían según \vec\partial P_d, las generaciones también varían sobre \vec\partial P_g, de forma tal que se siguen cumpliendo las condiciones de optimalidad, pero el costo cambia siguiendo la expresión:

\partial C = \sum\limits_{i=i}^n CI_i \partial P_{gi} = \sum\limits_{i=i}^n \lambda \left( 1 - \frac{\partial P_p}{\partial P_i}|_s \right) \partial P_{gi} = \lambda \left( \sum\limits_{i=i}^n \partial P_{gi} - \sum\limits_{i=i}^n \frac{\partial P_p}{\partial P_i}|_s \partial P_{gi} \right)

Teniendo en cuenta la ecuación de equilibrio de potencia para el caso diferencial: \sum\limits_{i=i}^n (\partial P_{gi} - P_{di} ) = \partial P_p podemos obtener:

\partial C = \lambda \left( \sum\limits_{i=i}^n \partial P_{di} + \partial P_p \right) - \lambda \left( \sum\limits_{i=i}^n \frac{\partial P_p}{\partial P_i}|_s \partial P_{gi} \right)

\partial C = \lambda \left( \sum\limits_{i=i}^n \partial P_{di} + \sum\limits_{i=i}^n \frac{\partial P_p}{\partial P_i} |_s ( \partial P_{gi} - \partial P_{di}) \right) - \lambda \left( \sum\limits_{i=i}^n \frac{\partial P_p}{\partial P_i}|_s \partial P_{gi} \right)

\partial C = \lambda \sum\limits_{i=i}^n \left( 1 - \frac{ \partial P_p}{ \partial P_i} |_s \right) \partial P_{di}

De lo anterior es posible despejar una expresión para los costos marginales en cada nodo:

\lambda_i = \frac{\partial C}{\partial P_{di}} = \lambda \left( 1 - \frac{\partial P_p}{\partial P_i}|_s \right)

En conclusión, encontramos expresiones para la solución del problema, y despejamos valores económicamente interesantes del mismo. La solución de este tipo de problemas sólo puede darse con programación no lineal, con métodos numéricos dinámicos o iterativos.

En las entradas siguientes vamos a explorar qué pasa cuando la red en si tiene límites de transmisión, es decir, los cables tienen un límite que por ahora no incluimos en el planteo.

Bibliografía:

“Resolución del problema del flujo de Cargas – Desarrollo de Flucar 3.0” – Alfredo Costa y Claudio Olmedo, 2002.

“Operación del sistema de generación” – Francisco D. Gagliana y Antonio J. Conejo

Sobre el problema del flujo de cargas en una red

A esta altura es conveniente describir brevemente el problema del flujo de cargas, que esencialmente consiste en la determinación de tensión, intensidad, potencia (activa y reactiva) en distintos puntos de una red eléctrica. Los sistemas estudiados deben estar en régimen, equilibrados, ser sinusoidales, y no tener anomalías. La solución de este problema consiste en el módulo y la fase de la tensión en cada barra1, así como las potencias activa y reactiva entrantes en cada una de ellas. A diferencia del método de nodos y mallas en donde hay un sistema de ecuaciones lineales, en este caso, las incógnitas no son lineales y requieren métodos numéricos de resolución2.

El problema del flujo de carga se plantea de la siguiente manera:

Variables:

  • Potencia Activa (generalmente P)
  • Potencia Reactiva (generalmente Q)
  • Módulo de la tensión (respecto al Neutro N del sistema, generalmente V)
  • Ángulo de fase de la tensión (\delta )

El juego de incógnitas se plantea de la siguiente manera, por cada barra del problema (grupo), dos de las magnitudes anteriores se considerarán conocidas, y las otras dos serán incógnitas. De este modo, para el problema particular, se pueden clasificar las barras de la siguiente manera:

  • Barra de Carga: Se conoce potencias entrantes
  • Barra de Generación: Se conoce potencia activa y módulo de la tensión.
  • Barra flotante: Se conoce módulo y fase de la tensión.
  • Barra de referencia: Se consideran nulas todas las variables asociadas a ella. Puede haber una sola barra de referencia, que consiste en el neutro del mismo.

En particular, para el estudio de un nodo genérico k, con la siguiente configuración:

nodo-k-generico

Siendo \overline{I}_k la corriente entrante al nodo k:

\overline{I}_k = \overline{V}_k \overline{y}_k + \sum\limits^n_{i=1,i \neq k}(\overline{V}_k - \overline{V}_i) \overline{y}_{ki}

\overline{I}_k = \overline{V}_k \overline{y}_k + \overline{V}_k \sum\limits^n_{i=1,i \neq k}\overline{y}_{ki} - \sum\limits^n_{i=1,i \neq k} \overline{V}_i \overline{y}_{ki}

\overline{I}_k = \overline{V}_k (\overline{y}_k + \sum\limits^n_{i=1,i \neq k}\overline{y}_{ki} ) - \sum\limits^n_{i=1,i \neq k} \overline{V}_i \overline{y}_{ki}

Se define:

\overline{y}_k + \sum\limits^n_{i=1,i \neq k}\overline{y}_{ki} =\overline{Y}_{kk}

-\overline{y}_{ki} = \overline{Y}_{ki}

Despejando la corriente en el nodo k:

\overline{I}_k = \overline{V}_k \overline{Y}_{kk} + \sum\limits^n_{i=1,i \neq k}\overline{V}_i \overline{Y}_{ki} = \sum\limits^n_{i=1} \overline{V}_i \overline{Y}_{ki} para k=1,2,…, n

La potencia entrante al nodo k estará definida por el balance entre lo aportado por el generador y lo consumido por la demanda (nota: tener en cuenta que en ingeniería eléctrica, la unidad imaginaria suele denotarse j para diferenciarla de la intensidad de una corriente que se denota i):

P_k + Q_k j = \overline{V}_k \vec{I}_k para k=1, 2,…, n

Donde:

  • \overline{V}_i es el fasor tensión de nodo (respecto a la referencia)
  • \overline{I}_k es el fasor corriente equivalente inyectado al nodo k.
  • n es la cantidad de nodos (sin contar el de referencia)
  • P_k es la potencia activa inyectada (o saliente dependiendo del signo) a la red en el nodo k
  • Q_k es la potencia reactiva inyectada (o saliente dependiendo del signo) a la red en el nodo k

Despejando en las dos últimas ecuaciones y reemplazando, queda:

P_k + Q_k j = V_k \sum\limits^n_{i=1} \vec{V}_i \vec{Y}_{ki}

Si separamos en la expresión compleja, la parte real de la parte imaginaria, quedaría:

P_k = Re ( V_k \sum\limits^n_{i=1} \vec{V}_i \vec{Y}_{ki} )

Q_k = Im ( V_k \sum\limits^n_{i=1} \vec{V}_i \vec{Y}_{ki} )

Dado que la potencia activa es un dato para las barras de carga y generación (menos la barra flotante):

P_{ks} = Re ( V_k \sum\limits^n_{i=1} \vec{V}_i \vec{Y}_{ki} ) para k = 1,2,…,n y k\neq(barra flotante)

Y la potencia reactiva es dato en las barras de carga:

Q_{ks} = Im ( V_k \sum\limits^n_{i=1} \vec{V}_i \vec{Y}_{ki} ) para k = 1, 2, …, l siendo l la cantidad de barras de carga.

El conjunto de ecuaciones que se pueden obtener de las precedentes, arrojan una cantidad de n-1+l ecuaciones no lineales con incógnitas en los fasores \overline{V}_k. Parte de esas incógnitas son conocidas, dado que los módulos de las tensiones respecto de la referencia son dato en las barras de generación (incluida la flotante), y es también conocido el ángulo de fase en la barra flotante. Complementariamente, las incógnitas quedarían constituidas por los módulos de las tensiones en las barras de carga, y los ángulos de fase en todas las barras salvo la flotante. En total son n-1 incógnitas de ángulos de fase y l incógnitas de módulos de tensión, sumando n-1+l incógnitas.

Podemos concluir entonces que el problema del flujo de cargas consiste en resolver el sistema de ecuaciones precedente, cuya naturaleza no permite obtener una solución directa, por lo que hay que recurrir a métodos iterativos o dinámicos.

Referencias

1 Entendemos por barra desde el punto de vista de la red, un punto del cuál se desprenden varios circuitos (tanto de generación como de demanda), que sirven en esencia para elevar la granularidad del grafo (y bajar la complejidad de los cálculos). Desde el punto de vista eléctrico, se trata de un conductor de baja impedancia al cual se conectan separadamente varios circuitos eléctricos. Es aquel punto del sistema eléctrico preparado para entregar y/o retirar energía eléctrica.
2 Algunos de ellos son el método de Newton Raphson para la resolución del flujo de carga, el método Newton Raphson desacoplado,  método Newton Raphson desacoplado rápido, método de Gauss y el método de Gauss-Seidel. Hay una excelente explicación en este apunte del Departamente de Ingeniería Eléctrica de la Universidad de La Frontera de Chile.

Bibliografía:

“Resolución del problema del flujo de Cargas – Desarrollo de Flucar 3.0” – Alfredo Costa y Claudio Olmedo, 2002.